Intégrale impropre : intégrale d'un domaine non borné
(Ensemble borné)
Définition :
Soit \(f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\) une fonction continue
Soit \(B_R=\{x\mid x_1^2+\ldots+x_n^2\leqslant{\Bbb R}^2\}\) un boule et \(C_R=[-1,1]^R\) un cube
On pose $$\int_{{\Bbb R}^n}\lvert f(x)\rvert\,dx_1\ldots dx_n:=\lim_{R\to+\infty}\int_{C_R}\lvert f\rvert\quad\in{\Bbb R}$$
Si \(f^+={{\frac{f+\lvert f\rvert}{2} }}\) et \(f^-={{\frac{\lvert f\rvert-f}{2} }}\) et si \(\int_{{\Bbb R}^n}\lvert f\rvert\) existe, alors $${{\int_{{\Bbb R}_n}f}}={{\int_{{\Bbb R}_n}f^+-\int_{{\Bbb R}^n}f^-}}$$
Intégrale - Intégration
Linéarité de l’intégrale
Définition :
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,+\infty[\)
On dit que l'intégrale \(\int^{+\infty}_af(t)\,dt\) converge si la limite, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), de la primitive \(\int^x_af(t)\,dt\) existe et est finie
Définition :
Si \(\int^{+\infty}_af(t)\,dt\) converge, alors on pose $${{\int^{+\infty}_af(t)\,dt}}={{\lim_{x\to+\infty}\int^x_af(t)\,dt}}$$
(Intégrale - Intégration, Limite en l’infini)
Définition :
Soit \(f\) une fonction continue sur \(]a,b]\)
On dit que l'intégrale \(\int^b_af(t)\,dt\) converge si la limite à droite, lorsque \(x\) tend vers \(a\), de \(\int^b_xf(t)\,dt\) existe et est finie
Définition :
Si \(\int^b_af(t)\,dt\) converge (avec \(f\) continue sur \(]a,b]\)), alors on pose : $${{\int^b_af(t)\,dt}}={{\lim_{x\to a^+}\int^b_xf(t)\,dt}}$$
(Limite à gauche - Limite à droite)
Définition :
Soient \(a,b\in\overline{\Bbb R}\) avec \(a\lt b\)
Si \(f:]a,b[\to{\Bbb R}\) est une fonction continue, alors on dit que \(\int^b_af(t)\,dt\) converge si et seulement s'il existe \(c\in]a,b[\) tq les deux intégrales propres \(\int^c_af(t)\,dt\) et \(\int_c^bf(t)\,dt\) convergent
Définition :
Soient \(a,b\in\overline{\Bbb R}\) avec \(a\lt b\)
Si \(\int^b_af(t)\,dt\) converge, alors on a : $${{\int^b_af(t)\,dt}}={{\int^c_af(t)\,dt+\int^b_cf(t)\,dt}}$$
(R-barre)
Intégrale divergente
Critère de Cauchy (Intégrale)
Théorème de comparaison (Intégrales impropres)
Théorème des équivalents (Intégrales impropres)
Théorème de comparaison série-intégrale
Développement limité
Intégrale de Riemann
Intégrale de Bertrand